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Una soluzione per uno dei più fondamentali problemi irrisolti in matematica

Packed spheres

In una pubblicazione apparsa sulla rivista Physical Review Letters, Alessio Zaccone, docente di metodi matematici della fisica presso il nostro Dipartimento, ha presentato una soluzione analitica in forma chiusa ad uno dei piu’ importanti e irrisolti problemi nella geometria discreta, con profonde connessioni con la fisica dei sistemi disordinati. Il problema e’ quello di determinare la massima frazione di volume che un insieme di sfere possono occupare nello spazio. Il grande matematico tedesco David Hilbert agli inizi del 900 inseri’ questo problema nella sua famosa lista di problemi matematici fondamentali per quali non vi era ancora una soluzione (si tratta infatti di parte del 18esimo problema di Hilbert). Il problema in realta’ ha due “risposte” a seconda che le sfere siano disposte nello spazio in maniera ordinata (ovvero come atomi in un reticolo cristallino) oppure in maniera disordinata o “random”. La prima parte del problema aveva gia’ ottenuto una risposta a livello quantitativo da quando Keplero ipotizzo’ che sfere ordinate in un reticolo a facce centrate forniscono l’impaccamento piu’ denso in assoluto. Gauss, nell’800, calcolo’ analiticamente la frazione di volume occupate (circa 0.74) e piu’ recentemente il matematico americano Thomas Hales negli anni 90 del XX secolo ha dimostrato con metodi formali che per il caso ordinato la congettura di Keplero e’ verificata in maniera rigorosa.

Per il caso invece di sfere impaccate in maniera disordinata, fino ad ora solo simulazioni numeriche al calcolatore ed esperimenti in laboratorio hanno suggerito che la frazione volumica massima e’ dell’ordine di 0.64 (nello spazio 3D), ma una soluzione matematica in forma analitica e’ rimasta elusiva. L’unica teoria matematica che fornisce una stima della frazione volumica in questo caso e’ quella basata sul concetto di Edwards ensemble (inizialmente proposto dal grande fisico britannico Sir Sam Edwards), che pero’ utilizza numerose assunzioni alcune delle quali difficili da verificare.

La soluzione trovata da Alessio Zaccone e’ invece molto piu’ semplice e per certi versi sorprendente. Essa si basa infatti su un semplice modello statistico-probabilistico utilizzato nella teoria atomica dei liquidi per calcolare la probabilita’ di avere un certo numero di sfere a distanza da una data sfera all’aumentare della densita’ delle sfere, senza ulteriori assunzioni tranne quella fisicamente sensata della impenetrabilita’ delle sfere. Per lungo tempo si pensava che una soluzione statistica a questo problema fosse impossibile data la complessita’ delle interazioni a molti corpi fra tante sfere che si respingono a contatto. Invece la soluzione matematica trovata dal Prof. Zaccone ha prodotto valori in buon accordo con i dati sperimentali sia in 3D che in 2D.

Il comitato editoriale di Physical Review Letters ha ritenuto di presentare l’articolo come “Editors’ suggestion” e di evidenziarlo in prima pagina sulla rivista stessa.

13 gennaio 2022
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